Resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss (2024)

En esta página aprenderás qué es el método de Gauss-Jordan y cómo resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss. Además, también encontrarás ejemplos y ejercicios resueltos de sistemas con el método de Gauss para que puedas practicar y entenderlo a la perfección.

Sumario

1.¿Qué es el método de Gauss?

2.Matriz ampliada al sistema

3.Transformaciones de filas permitidas

4.¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss?

5.Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan

¿Qué es el método de Gauss?

El método de Gauss-Jordan es un procedimiento que sirve para resolver sistemas de ecuaciones con 3 incógnitas, o sea como este:

El objetivo del método de Gauss es convertir el sistema de ecuaciones inicial en un sistema escalonado, es decir, un sistema en el cual cada ecuación tiene una incógnita menos que l’anterior:

Sin embargo, para llegar a hacer esto, primero debemos saber cómo expresar un sistema de ecuaciones en forma de matriz y las transformaciones permitidas en esta matriz. Así que explicaremos estas dos cosas antes, y luego veremos cómo utilizar el procedimiento del método de Gauss.

Matriz ampliada al sistema

Antes de ver cómo se resuelve el sistema, debemos saber que un sistema de ecuaciones se puede expresar en forma de matriz: los coeficientes de las se ponen en la primera columna, los coeficientes de las en la segunda columna, los coeficientes de las en la tercera columna y los números sin incógnita en la cuarta columna.

Por ejemplo:

Resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss (6)

Transformaciones de filas permitidas

Para conseguir convertir el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado, se puede hacer cualquier operación de las siguientes en la matriz asociada al sistema:

Cambiar el orden de las filas de la matriz.

Por ejemplo, podemos cambiar de orden las filas 2 y 3 de una matriz:

Multiplicar o dividir todos los términos de una fila por un número diferente de 0.

Por ejemplo, podemos multiplicar la fila 1 por 4, y dividir la fila 3 entre 2:

Sustituir una fila por la suma de la misma fila más otra fila multiplicada por un número.

Por ejemplo, en la siguiente matriz sumamos a la fila 2 la fila 3 multiplicada por 1:

¿Cómo resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss?

Ahora vamos a ver mediante un ejemplo el procedimiento de cómo resolver un sistema de ecuaciones con el método de Gauss:

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

Resolver un sistema de ecuaciones por el método de Gauss (11)

Como veremos luego, es mejor si el primer número de la primera fila es un 1. Por tanto, vamos a cambiar de orden las filas 1 y 2:

El objetivo del método de Gauss es conseguir que los números por debajo de la diagonal principal sean 0. Es decir, tenemos que convertir los números de color rojo en 0:

Para eliminar estos números debemos hacer las transformaciones adecuadas de las filas.

Por ejemplo, el -1, que es el primer elemento de la segunda fila, es el negativo de 1, el primer elemento de la primera fila. Por tanto, si a la segunda fila le sumamos la primera fila, se eliminará el -1:

Así que si hacemos esta suma nos queda la siguiente matriz:

De esta manera hemos conseguido transformar el -1 en un 0.

Ahora vamos a transformar el 2. Si te fijas, el 2, que es el primer elemento de la tercera fila, es el doble de 1, el primer elemento de la primera fila. Por tanto, si a la tercera fila le sumamos la primera fila multiplicada por -2, se eliminará el 2:

Así que nos queda la siguiente matriz:

De esta manera hemos conseguido transformar el 2 en un 0.

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones por el método de Gauss-Jordan

Ejercicio 1

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con el método de Gauss:

Ver solución

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

Ahora debemos conseguir que todos los números por debajo de la matriz principal sean 0.

Así que hacemos operaciones con las filas para anular los dos últimos términos de la primera columna:

Ahora eliminamos el último elemento de la segunda columna:

Una vez todos los números por debajo de la diagonal principal son 0, ya podemos resolver el sistema de ecuaciones. Para ello volvemos a expresar la matriz en forma de sistema de ecuaciones con incógnitas:

Y despejamos las incógnitas de las ecuaciones de abajo hacia arriba. Primero resolvemos la última ecuación:

Ahora sustituimos el valor de z en la segunda ecuación para encontrar el valor de y:

Y hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos x:

Ejercicio 2

Halla la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

Ver solución

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

Para aplicar el método de Gauss, es más fácil si el primer número de la primera fila es un 1. Por tanto, cambiaremos de orden las filas 1 y 2:

Ahora debemos conseguir que todos los números por debajo de la matriz principal sean 0.

De modo que realizamos operaciones con las filas para anular los dos últimos elementos de la primera columna:

Ahora convertimos en cero el último elemento de la segunda columna:

Una vez todos los números por debajo de la diagonal principal son 0, ya podemos solucionar el sistema de ecuaciones. Para ello volvemos a expresar la matriz en forma de sistema de ecuaciones con incógnitas:

Y despejamos las incógnitas de las ecuaciones de abajo hacia arriba. Primero resolvemos la última ecuación:

Ahora sustituimos el valor de z en la segunda ecuación para encontrar el valor de y:

Y hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos x:

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

Ejercicio 3

Calcula la solución del siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

Ver solución

Lo primero que tenemos que hacer es la matriz ampliada del sistema:

Ahora debemos lograr que todos los números por debajo de la matriz principal sean 0.

De manera que realizamos operaciones con las filas para anular los dos últimos elementos de la primera columna:

Ahora convertimos en cero el último elemento de la segunda columna:

Y despejamos las incógnitas de las ecuaciones de abajo hacia arriba. Primero resolvemos la última ecuación:

Ahora sustituimos el valor de z en la segunda ecuación para encontrar el valor de y:

Y hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos x:

Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:

Ejercicio 4

Soluciona el siguiente sistema de ecuaciones con 3 incógnitas por el método de Gauss:

Ver solución

Antes de aplicar el método de Gauss, debemos ordenar el sistema de ecuaciones para que todas las incógnitas estén en el lado izquierdo de la ecuación y los números en el derecho:

Una vez el sistema está ordenado, construimos la matriz ampliada del sistema:

Como todos los números de la primera fila son pares, antes de operar con las filas dividiremos la primera fila entre 2. Ya que esto nos facilitará los cálculos:

Ahora debemos conseguir que todos los números por debajo de la matriz principal sean 0.

De modo que realizamos operaciones con las filas para anular los dos últimos elementos de la primera columna:

Igual que antes, como todos los números de la última fila son múltiples de 9, la dividiremos entre 9 para hacer los cálculos más fáciles:

Ahora convertimos en cero el último elemento de la segunda columna:

Y despejamos las incógnitas de las ecuaciones de abajo hacia arriba. Primero resolvemos la última ecuación:

Ahora sustituimos el valor de z en la segunda ecuación para encontrar el valor de y:

Y hacemos lo mismo con la primera ecuación: sustituimos los valores de las otras incógnitas y despejamos x:

Por tanto, la solución del sistema de ecuaciones es: